O que é a Sequência de Fibonacci? [Proporção de Ouro]

O que é Fibonacci? Essa sequência está presente no mundo e até em você

O que é Fibonacci

Ao descobrir o que é Fibonacci, a famosa sequência que segue um padrão considerado divino, a reação das pessoas varia entre espanto e admiração. Esse é mais um caso impressionante em que a matemática mostra sua íntima relação com o universo.

A matemática, inclusive, possui relações com a filosofia. Quem explica isso é o professor Deividi Pansera. Ele deu um curso completo unindo essas duas áreas no Núcleo de Formação da Brasil Paralelo, onde há mais de 40 cursos sobre filosofia, história, política, arte, economia e educação.

Pansera fala sobre Fibonacci, conteúdo resumido neste artigo com muitos exemplos e curiosidades, que ajudam a olhar o mundo de outra forma.

Índice de conteúdo

  1. O que é a Sequência de Fibonacci?
  2. A Proporção Áurea e o Retângulo de Ouro;
  3. História;
  4. Fibonacci na natureza;
  5. A sequência de Fibonacci no Mercado de ações.

O que é a sequência de Fibonacci?

A sequência de Fibonacci, ou sucessão de Fibonacci, é uma sequência matemática composta por números inteiros. Normalmente, começa por 0 e 1 e cada termo subsequente é formado pela soma dos dois anteriores.

Essa sequência é uma sucessão infinita de números que seguem o mesmo padrão.

A palavra Fibonacci é usada porque o matemático italiano, Leonardo de Pisa, foi quem concebeu uma fórmula para essa sequência. 

Mas além de saber o que é Fibonacci, é importante saber que essa sequência é aplicada em análise de mercados financeiros, na ciência da computação e em teoria dos jogos. também aparece, por exemplo, em configurações biológicas, galhos de árvores, folhas em uma haste, no arranjo do cone da alcachofra, no abacaxi e no desenrolar da samambaia.

Há muito mais exemplos, que serão descritos ao longo do texto.

Quais são os números de Fibonacci?

Sequência de Fibonacci em uma espiral

Os números de Fibonacci compõe a seguinte sequência (Sequência A000045 na OIES):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2594…

Como se vê, a composição é formada por números que são o resultado da soma dos dois anteriores:

  • 0 + 1 = 1
  • 1 + 1 = 2
  • 2 + 1 = 3
  • 3 + 2 = 5
  • 5 + 3 = 8

Caso você tenha interesse por matemática, saiba que ela nasceu a partir de pensamentos filosóficos, em uma tentativa de interpretar o mundo de forma matemática. O principal expoente dessa filosofia foi Pitágoras. 

  • Quem melhor explica isso é o professor Davidi Pansera. Seu curso está presente no Núcleo de Formação, com dezenas de outros com temas diferentes e muito importantes para a vida intelectual.

Como os primeiros filósofos concentraram-se na observação da realidade, não seria estranho descobrir que a sequência de Fibonacci é vista no mundo.

A Proporção Áurea e o Retângulo de Ouro

Sequência de Fibonacci na arquitetura do Paternon com o retângulo de ouro

A proporção áurea, proporção divina ou razão de Phidias é uma constante real algébrica irracional, representada pela divisão de uma reta em dois segmentos. Quando a soma dos segmentos é dividida pela parte mais longa, tem-se 1,61803398875.

Em outras palavras, basta dividir um número da sequência de Fibonacci por seu antecessor. Na Matemática, esse número é representado pela letra grega Phi (φ), inspirada a partir de Phidias, arquiteto que teria criado o conceito da proporção áurea ao ajudar na projeção do Partenon, cuja largura e altura da fachada obedecem a proporção de 1 para 1,618.

Esse é o número de ouro, que representa o equilíbrio perfeito. Ele também pode ser representado no formato de porcentagem: 100%, 61,8%, 50%, 38,2%, 23,6% e 0%.

A proporção de ouro continuou sendo usada como conceito visual aplicado nas artes plásticas, arquitetura e design, pois é considerada agradável aos olhos humanos.

A catedral de Notre Dame e as pirâmides do Egito seguem essa proporção. Mas como ela é irreal, nada no mundo tem rigorosamente o mesmo valor do número de ouro. Mas quanto mais próximo dele, maior será a simetria e a proporcionalidade.

Há uma antiga e famosa explicação do retângulo de ouro, muito didática, feita para o pato  Donald:

História

A sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no Ocidente quando Leonardo Fibonacci (1170 – 1250) escreveu o livro Liber Abaci (Livro do Ábaco) em 1202. Essa sequência já tinha sido descrita por gregos e indianos, mas Fibonacci a usou para descrever o crescimento de uma população de coelhos usando uma fórmula.

Seu experimento não foi uma análise de um casal de coelhos específicos, mas uma suposição de procriação ao longo dos meses.

No primeiro mês, considerou o nascimento de um casal de coelhos. Eles também procriavam e, a cada mês, os casais férteis davam à luz um novo casal.

Matematicamente, a sequência de Fibonacci pode ser representada pela função:

Fn = Fn – 1 + Fn – 2

Por meio da sequência de Fibonacci, é possível descobrir quantos coelhos são gerados em qualquer mês, bastando aplicar a fórmula até chegar no ponto inicial de 1 e 1.

Outro fato incrível é que a sequência de Fibonacci descreve a reprodução das abelhas. Elas geram pares que geram outros pares que geram mais pares, correspondendo exatamente aos números que Leonardo Fibonacci elencou no exemplo dos coelhos.

A cidade de Bugia era uma importante exportadora de cera na época de Leonardo. É possível que ele tenha se inspirado nas abelhas-produtoras de Bugia.

Fibonacci na natureza

Sequência de Fibonacci na natureza

A sequência de Fibonacci está intrinsecamente ligada à natureza de uma maneira estética e funcional. Alguns autores tomam essa análise como uma base explicativa para uma teoria criacionista do mundo, chamada Design Inteligente.

Os números que compõem a sucessão que segue a proporção áurea são encontrados em:

  • Arranjos de folhas; 
  • Ramos de plantas;
  • Copas de árvore;
  • Pétalas de flores;
  • Frutos; 
  • Ossos;
  • Animais;
  • Galáxias;
  • Moléculas de DNA…

A espiral de Fibonacci

Desenhado quadrados com as laterais no valor dos números da sucessão de Fibonacci, encontra-se uma espiral perfeita, presente em muitos elementos da natureza. Quando um desses números é dividido pelo seu antecessor, encontra-se a razão de 1,618.

A espiral de Fibonacci é vista em animais, plantas e construções. Ainda serão dados muitos exemplos de recorrência da sequência de Fibonacci na natureza, especialmente no formato de espiral.

Nautilus marinho

O Nautilus e o Allonautilus são os últimos gêneros vivos de cefalópodes com concha externa, cujo desenrolar forma uma espiral logarítmica que chega muito próxima à proporção áurea. 

Mesmo não sendo perfeita, a sequência de Fibonacci é facilmente percebida na espiral do Nautilus, que é composta por quadrados cujos lados possuem medidas proporcionais aos números da sequência de Fibonacci.

O primeiro quadrado possui lados com medida 1, assim como o segundo. Já o terceiro possui lados com medida 2, o quarto com medida 3, o quinto com medida 5, o sexto com medida 8 e, assim, a sequência segue o padrão natural de que o próximo é a soma dos dois anteriores.

No caso da concha do caramujo, cada nova camada da espiral também possui a dimensão da soma dos das duas camadas antecessoras. 

Esse exemplo é percebido em outros seres vivos.

O rabo de um camaleão enrolado é uma das mais perfeitas representações da espiral de Fibonacci vista em animais. E caso as presas de marfim dos elefantes crescessem sem parar, formariam a espiral que segue a proporção dos números de Fibonacci.

Anatomia humana

No caso do corpo humano, a altura dividida pela distância entre o umbigo e a cabeça tem como resultado um número aproximado de 1,618. A mão humana possui articulações nos dedos que são relacionados à razão áurea, exceto o polegar.

Vistos frontalmente, os dentes anteriores também seguem a proporção áurea entre si. O segmento que começa no incisivo central e vai até o primeiro pré-molar se encontra na proporção áurea em relação ao canto da boca, o final do sorriso.

Inclusive, a linha dos lábios divide o terço inferior do rosto nos segmentos da proporção áurea. Da ponta do nariz até a linha dos lábios e da linha dos lábios até o queixo pode ser visto o retângulo de ouro.

Até o cartão de crédito possui  formato e tamanho com laterais seguindo a razão de ouro. Fotos e jornais também a adotam. O que se percebe é que o ser humano gosta desses padrões.

Um músico, por exemplo, olha para os padrões de proporção e ordem que existem nas diferentes realidades e imprime isso nos sons, sua matéria prima.

A matemática está intimamente relacionada com a música. Pitágoras descobriu que a oitava das notas estava em uma razão de dois para um. Veja a explicação completa neste trecho do documentário A Primeira Arte, sobre a música:

Plantas

A sucessão de Fibonacci também é percebida na espiral da folha de uma bromélia. O que acontece nela é o mesmo que se percebe na concha do Nautilus marinho.

Não só da bromélia, mas em outras plantas o arranjo das folhas em torno do caule são formados de acordo com os números de Fibonacci. Isso permite que todas as folhas recebam raios solares uniformemente. Em caso de chuva, essa formação facilita o escoamento da água na planta.

Uma pinha, por exemplo, possui sementes crescendo e se organizando em duas espirais, com 8 irradiando no sentido horário e 13 no sentido anti-horário.

O miolo do Girassol possui sementes organizadas em dois conjuntos de espirais, com aproximadamente 21 no sentido horário e 34 no anti-horário.

Artes

Nas artes, a sequência de Fibonacci foi colocada em prática, principalmente no Renascimento. A relação entre o princípio da proporção áurea e a arte nasce no século XVI com o estudo do monge italiano Luca Pacioli em sua obra De Divina Proportione.

Assim, tornou-se comum os artistas aplicarem a proporção áurea em seus trabalhos. Um dos principais nomes nesse caso é Leonardo da Vinci que a aplicou em A Última Ceia, Mona Lisa e Homem Vitruviano.

A razão entre o tronco e a cabeça da Mona Lisa segue esse mesmo padrão. Os elementos do rosto da Mona Lisa também seguem a sequência de Fibonacci.

O número de ouro também foi encontrado na razão entre as estrofes maiores e menores da Ilíada de Homero.

As pirâmides do Egito possuem blocos 1,618 vezes maiores que os blocos do nível imediatamente acima. Em algumas câmaras internas, o comprimento é 1,618 vezes maior que a largura.

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Fibonacci no cinema

Muitas referências à sequência de Fibonacci são feitas no filme Pi, de Darren Aronofsky. O protagonista, Max, um matemático brilhante e atormentado. Em uma das cenas, ele desenha quadrados de arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência de Fibonacci.

Quando ele sobrepõe seus desenhos sobre o Homem Vitruviano de Da Vinci, fica convicto de que a matemática é a linguagem da natureza.

Há também um momento em que Max pega uma concha na praia e observa a sequência que sua espiral forma.

Quando Max se encontra com um judeu chamado Lenny Meyer, conversam sobre a crença de que a Torah seria uma sequência de números que formam um código enviado por Deus, bastando interpretar como as letras do alfabeto hebraico correspondem aos números.

Outra façanha de Max é tentar decodificar o padrão numérico do mercado de ações.

A sequência de Fibonacci no mercado de ações

A sequência de Fibonacci é usada em análises financeiras e na informática.

Atualmente, investidores usam a chamada retração de Fibonacci para analisar os valores dos ativos financeiros, buscando entender se eles vão sofrer alterações em sua tendência.

Essa retração leva o nome de Fibonacci porque é composta por linhas horizontais que cortam a série de preços. Quando isso acontece, a distância entre as linhas varia de acordo com os números da sequência de Fibonacci.

A retração usada aponta zonas nas quais se deve prestar atenção: os pontos de alerta. Os investidores podem identificar patamares de possíveis repiques ou reversões nos valores.

Resumindo, a retração de Fibonacci é um indicador de análise técnica, que trata de encontrar patamares de Resistência ou de Suportes, ou seja, valores onde o preço tende a mudar sua tendência.

Traders usam a retração para identificar pontos de entrada na Bolsa de Valores e analisam padrões nos investimentos.

Ela é um indicador para analisar ativos como ações, ouro, mini contratos, etc. As projeções dinâmicas podem determinar como serão as movimentações, ou seja, onde os valores dos ativos começarão a mudar. 

Em qualquer tipo de gráfico, investidores podem usar a retração de Fibonacci para desenhar altas ou baixas, levando em conta os valores máximos e mínimos.

Isso auxilia pontos de reversão e limites de correção.

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